恒定磁场

毕奥-萨法尔定律

概念：任意载流导线均可看成是由无限多个电流元组合而成的。

电流源记为 Idl⃗Id\vec{l} ，其中 II 是导线中的电流，dl⃗d\vec{l} 是在载流导线上沿着电流方向所取的微小线段元。

dB⃗=μ04πIdl⃗×e⃗rr2.d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Id\vec{l}\times\vec{e}_r}{r^2}.

式中 e⃗r\vec{e}_r 是电流元指向 PP 点的单位矢量。

磁感应强度的计算（推导见课本）

载流直导线的磁场

B=μ0I4πa⋅∫θ1θ2sinθdθ=μ0I4πa(cosθ1−cosθ2)(9-2-5)B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} \cdot \int_{\theta_1}^{\theta_2} sin\theta d\theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi a}(cos\theta_1 - cos\theta_2)\tag{9-2-5}

当 PP 点距离载流导线很近时，载流导线相对于 PP 点来说可视为无限长的载流导线，此时可得 θ1=0,θ2=π\theta_1=0,\theta_2=\pi。

B=μ0I2πa(9-2-6)B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}\tag{9-2-6}

习惯上用 rr 表示垂直距离，

B=μ0I2πr(9-2-7)B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\tag{9-2-7}

如果考虑载流导线是半无限长，如 θ1=0{\theta}_1=0 ,θ2=π/2{\theta}_2={\pi}/{2},

B=μ0I4πrB = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}\qquad

圆电流的磁场

所求为圆环形电流轴线上任意 PP 点的磁感应强度 B⃗\vec{B}。

B=μ0IR22(x2+R2)3/2(9-2-8)B = \frac{\mu_0 IR^2}{2(x^2+R^2)^{3/2}} \tag{9-2-8}

以下讨论两种情况:
(1) x=0x = 0，圆环电流的圆心处的磁感应强度为

B=μ0I2R(9-2-9)B = \frac{\mu_0 I}{2R} \tag{9-2-9}

考虑圆心角为 θ\theta 的圆弧状电流，

B=(θ2π)μ0I2R(9-2-10)B = (\frac{\theta}{2\pi})\frac{\mu_0 I}{2R} \tag{9-2-10}

(2) x≫R,x≈rx\gg R,x\approx r， (9-2-8)式可写成：

B=μ0IR22x3=μ0IR22r3(9-2-11)B = \frac{\mu_0 IR^2}{2x^3} = \frac{\mu_0 IR^2}{2r^3} \tag{9-2-11}

或

B=μ0IS2πr3B = \frac{\mu_0 IS}{2\pi r^3}

S=πR2S = \pi R^2

定义磁偶极矩（磁矩） m⃗\vec{m} 为

m⃗=ISen⃗\vec{m} = IS\vec{e_n}

en⃗\vec{e_n} 是圆环面的法向单位矢量。
通常又把载流圆环称为磁偶极子。

上式可推广到任意形状的平面载流线圈。

螺线管和螺绕环的磁场

所求为螺线管内轴线上任意一点 PP 的磁感应强度 BB。

考虑线圈为密绕，螺线管电流分布可看成是许多圆环电流沿着螺线管轴线的排列。

B=∫θ1θ2−μ0nI2sinθdθ=μ0nI2(cosθ2−cosθ1)(9-2-13)B = \int_{\theta_1}^{\theta_2}-\frac{\mu_0 nI}{2}sin{\theta}d\theta = \frac{\mu_0 nI}{2}(cos\theta_2 - cos\theta_1) \tag{9-2-13}

n=NLn=\frac{N}{L}

当 R≪LR\ll L 时，螺线管可看成是一个无限长的螺线管。这时有θ2=0\theta_2 = 0，θ1=π\theta_1 = \pi。

磁场的高斯定理

一个任意闭合曲面的磁通量总是零。

∮sB⋅dS=0\oint_s \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} =0

安培环路定理

安培环路定理

磁感应强度矢量 B\mathbf{B} 沿着任何闭合环路的线积分，等于真空的磁导率 μ0\mu_0 乘以穿过这个闭合环路的电流的代数和。

∮LB⋅dl=μ0∑i=1kIi(9-4-9)\oint_L \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \sum_{i=1}^{k}I_i \tag{9-4-9}

安培环路定理的应用

  1. 无限长均匀圆柱面电流的磁场分布
  2. 无限长均匀圆柱体电流的磁场分布
  3. 载流长直螺线管的磁场分布
  4. 载流螺绕环的磁场分布

磁场与实物的相互作用

磁场对运动电荷的作用

磁场对运动电荷的作用力

洛伦兹力：

Fm=qv×B\mathbf{F_m} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B}

霍尔效应

载流导体放在磁场中，若磁感应强度 B\mathbf{B} 的方向垂直于导体板并与电流 II 方向垂直，则在导体板的上下两侧面之间会产生一定的电势差（霍尔电压）。

磁致聚焦

磁约束

磁场对载流导线的作用

在均匀磁场中，一段有限长任意形状的载流导线所受到的磁场力与连接该导线两端点 aa、bb 的通有同样电流的直导线 L\mathbf{L} 所受到的磁场力相等。用 ab⃗\vec{ab} 表示 L\mathbf{L}，则

F=(IL)×B(9-6-6)\mathbf{\boldsymbol{F}} = (I \mathbf{\boldsymbol{L}}) \times \mathbf{\boldsymbol{B}} \tag{9-6-6}

对任意载流环路，在均匀磁场中受到的合力是零。

例子：求平行长直载流导线之间的相互作用力。

均匀磁场对平面闭合载流线圈的作用

由前述知，矩形载流环路受到的合力为零。

力矩：M=r×F\mathbf{\boldsymbol{M}} = \mathbf{\boldsymbol{r}} \times \mathbf{\boldsymbol{F}}

均匀磁场中的一个平面矩形载流线圈受到的合力为零，合力矩一般不为零。

均匀磁场作用于任意形状的平面载流线圈的力矩：

M=m×B\mathbf{\bm{M}} = \mathbf{\bm{m \times B}}

也说明了在均匀磁场中，载流线圈受到的力矩取决于磁偶极矩，与线圈形状无关。

磁介质

物质的磁性

常见的磁介质分为顺磁质、抗磁质和铁磁质。
将磁介质放入磁感应强度为 B0B_0 的磁场中，实验上课观测各种物质内部的磁场 BB 与原磁场 B0B_0 的关系。

定义相对磁导率 μr\mu_r ：

μr=∣B∣∣B0∣(9-7-1)\mu_r = \frac{\vert{B}\vert}{\vert{B_0}\vert} \tag{9-7-1}

μr>1\mu_r > 1，顺磁质；μr<1\mu_r < 1，抗磁质；μr≫1\mu_r \gg 1，铁磁质。

真空的相对磁导率 μr=1\mu_r =1 。

介质的磁化

磁化强度

磁化强度矢量 M\mathbf{M} 表示磁介质单位体积内分子磁矩的矢量和。
实验表明：

M=μr−1μrμ0B(9-7-4)\mathbf{M} = \frac{\mu_r - 1}{\mu_r \mu_0} \mathbf{B} \tag{9-7-4}

式中 B\mathbf{B} 是介质内的总磁感应强度。

有磁介质时的安培环路定理

在有磁介质存在时，安培环路定理应写为

∮LB⋅dl=∮L(B0+B′)⋅dl=μ0∑i(Ii+Ii′)(9-7-5)\oint _L \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} = \oint _L (\mathbf{B_0 + B'}) \cdot d \mathbf{l} = \mu_0 \sum_i (I_i + I_i ') \tag{9-7-5}

式中 IiI_i 是传导电流， Ii′I_i' 是磁化电流。

由 (9-7-1) 式，可得，

∮LB⋅dl=μr(∮LB0⋅dl)=μr(∑iμ0Ii)\oint _L \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} = \mu_r(\oint _L \mathbf{B_0} \cdot d \mathbf{l}) = \mu_r(\sum_i \mu_0 I_i)

将真空中的磁导率和相对磁导率合并，得，

∮LBμrμ0⋅dl=∑iIi(9-7-6)\oint _L \frac{\mathbf{B}}{\mu_r \mu_0} \cdot d \mathbf{l} = \sum_i I_i \tag{9-7-6}

由此定义磁场强度，

H=Bμrμ0(9-7-7)\mathbf{H} = \frac{\mathbf{B}}{\mu_r \mu_0} \tag{9-7-7}

即得到有介质时的安培环路定理，

∮LH⋅dl=∑iIi(9-7-8)\oint _L \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l} = \sum_i I_i \tag{9-7-8}

H\mathbf{H} 的单位为 A/mA/m 。



由上述可推得（请自行推导），

∮LM⋅dl=∑iIi′(9-7-11)\oint_L \mathbf{M} \cdot d \mathbf{l} = \sum_i I_i' \tag{9-7-11}



磁化率 χm=μr−1\chi_m =\mu_r -1

铁磁质

电磁感应

法拉第电磁感应定律

电磁感应现象

法拉第电磁感应定律

感应电动势的大小与通过回路的磁通量的变化率 dΦ/dtd\Phi/dt 成正比。

在国际单位制中，感应电动势可表示为

Ei=−dΦdt(10-1-3)\mathscr{E}_i = - \frac{d\Phi}{dt} \tag{10-1-3}

楞次定律：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。

感应电动势

动生电动势

动生电动势：磁场不随时间变化，导体在磁场中运动所产生的感应电动势。

动生电动势的一般计算公式：

Ei=∫−+EK⋅dl=∫−+(v×B)⋅dl(10-2-3)\mathscr{E}_i = \int _- ^+ \mathbf{E_K} \cdot d\mathbf{l} = \int _- ^+ (\mathbf{v \times B }) \cdot d\mathbf{l} \tag{10-2-3}

感生电动势 感应电场

感生电动势：当导体回路（或导体）静止不动时，由于磁场的大小或方向发生变化所产生的感应电动势。

电子感应加速器

互感与自感

互感现象

考虑两个线圈，当一个导体回路中的电流随时间发生变化时，在另一导体回路中也会产生感生电动势，这就是互感现象，这种电动势称为互感电动势。

（考完试了，鸽鸽鸽）